Каковы концептуальные различия между методом конечных элементов (МКЭ) и методом конечных разностей (МКР)? Возможно, вы уже задавались этим вопросом, если использовали в своей работе метод конечных элементов и осознали, что ваши отношения достаточно серьёзны, чтобы углубиться в теорию, лежащую в его основе. Хочу вас обрадовать – вы попали по адресу!

Мой блог как раз и посвящён конечноэлементному анализу от базового до углублённого уровня, и в этой статье я планирую «углубиться»… если вас это не пугает – добро пожаловать!

Начнём с того, что метод конечных элементов (по-английски FEM – Finite Element Method) и основанный на нём конечноэлементный анализ (FEA – Finite Element Analysis) – это один из способов численного решения дифференциальных уравнений, описывающих физические явления.

Да-да, любую тему я предпочитаю начинать с самых основ, детально разбирая каждое понятие, ведь только так можно добиться истинного понимания.

Если вы уже знакомы с уравнениями, описывающими физические поля, и основами численных методов, то в различиях между методом конечных элементов и методом конечных разностей вы разберётесь быстро… Можете сразу начать с выводов, а потом просмотреть статью, если что-то будет не ясно.

Если же фундаментальных знаний вам пока не хватает, я постараюсь помочь восполнить пробелы. Помните, всегда важно добраться до сути понятий, а не ограничиваться одним лишь определением (в противном случае, учебники можно было бы заменить на словари).

Физические уравнения – как мы к ним пришли?

На протяжении многих веков человечество стремилось изучить природу окружающего нас мира. Ведь для того, чтобы иметь возможность контролировать, изменять и улучшать условия нашей жизни, необходимо вначале разобраться, как всё устроено. Постепенно учёные создали модели, описывающие окружающую нас действительность на языке уравнений, что позволило значительно продвинуться в изучении различных природных явлений.

Ещё с древних времён люди умели добывать огонь (этот момент в истории даже нарекли началом цивилизации), но лишь несколько столетий назад людям удалось понять, как именно тепло от этого огня распространяется в различных средах. Кстати, если вас интересует явление теплопередачи, советую ознакомиться с моей статьёй по этой теме.

Но как именно учёным удалось понять процессы теплообмена? Они выполнили ряд экспериментов и на основе полученных данных вывели некоторые уравнения. Эти уравнения позволили сформулировать законы. Затем, рассматривая совместно несколько законов, учёные построили теории и вывели ещё более мощные уравнения, которые позволяют раскрыть ещё больше загадок природы.

Но чем более сложными и обобщёнными становились уравнения, тем труднее было находить для них точные аналитические решения. Возникла необходимость изобрести что-то новое... инструмент, который дал бы возможность каждому физику решать эти уравнения, не тратя годы на попытки получить аналитическое решение, которого для конкретной задачи может даже и не быть. Именно с этой целью и были изобретены численные методы.

Как численные методы помогают решать физические уравнения?

Хотим мы того или нет, физические процессы обычно приходится описывать сложными дифференциальными уравнениями или даже системами таких уравнений. Если вы не сталкивались с решением дифференциальных уравнений, то у вас может возникнуть ошибочное мнение, что в них нет ничего особенного. «Почему нельзя просто найти решение, получить искомую функцию и вычислить результат?» – спросите вы.

Что ж… дифференциальные уравнения «немного» сложнее, чем вам кажется.

Сложность уравнений сильно возрастает, как только нам требуется учесть зависимость от времени. Не знаю, почему именно время является самым проблемным параметром, но если у вас на этот счёт есть какие-то идеи, поделитесь ими, пожалуйста, в комментариях к исходной статье. Обычно дифференциальные уравнения для описания физических процессов включают в себя зависимости не только от времени, но и от трёх координат в пространстве, а зачастую и от других переменных (например, от плотности жидкости при решении задач гидрогазодинамики).

Чтобы получить решение таких сложных задач, применяются следующие основные подходы:

• максимальное упрощение исходной модели физического процесса – например, можно исключить зависимость от времени, если для рассматриваемой задачи допустимо принять, что она является статической (стационарной);
• разделение модели на более мелкие и простые модели;
• применение приближённых численных алгоритмов, чтобы максимально точно аппроксимировать истинное решение.

Метод конечных элементов как раз и является одним из численных методов.

Является ли МКЭ единственным методом решения физических уравнений?

Конечно же, нет ... МКЭ – вовсе не единственный метод, который позволяет справиться с этой задачей. Математики и физики нашли много численных методов решения физических уравнений, и вот четыре наиболее популярных из них:

1. Метод конечных элементов (МКЭ).
2. Метод конечных объёмов (МКО).
3. Метод конечных разностей (МКР).
4. Метод граничных элементов (МГЭ).

В этой статье рассмотрены МКЭ и МКР, и я хочу вначале привести их краткое описание по отдельности, а потом поговорить о сходствах и отличиях.

Что представляет собой МКЭ?

Одной из ключевых характеристик метода конечных элементов является использование дискретизации для преобразования непрерывной области в набор (сетку) элементов типовой формы. Численные алгоритмы часто основаны на представлении исходной задачи в виде большого числа небольших повторяющихся задач – в таком виде компьютер сможет выполнить расчёт наиболее эффективно.

В теоретических моделях мы часто рассматриваем так называемые «бесконечно малые объёмы», которые стремятся к точке. Кстати, о бесконечно малых и конечно малых объёмах я рассуждал в своей статье о напряжениях (на английском языке), советую ознакомиться. Так вот, к сожалению, при выполнении расчёта численными методами невозможно аппроксимировать уравнения в бесконечно малых объёмах, потому что количество таких объёмов будет бесконечно большим, а с такой задачей не справится ни один компьютер. Также не получится задать одну непрерывную расчётную область сложной формы. Поэтому нам необходимо разбить расчётную область на отдельные элементы конечного размера. Кстати, под расчётной областью я понимаю геометрический объём (в трёхмерной постановке) или фигуру (для двумерных задач), в рамках которых рассчитывается физический процесс.

Для построения сетки конечных элементов компьютеру необходимо задать начало и конец. Необходимо как-то задать место, с которого алгоритм начнёт рассматривать расчётную область, затем задать, какой фрагмент он должен рассмотреть следующим, и так далее, пока не будет рассмотрена вся область.

После того, как расчётная область будет разбита на сетку конечных элементов, мы сможем записать уравнения для каждого из этих элементов, собрать все эти уравнения вместе с использованием принципа суперпозиции и, наконец, получить решение для всей расчётной области. Конечно, в таком описании я упустил многие важные этапы и понятия, оставив только то, что является основным для понимания различия между МКЭ и МКР.

А что же представляет собой МКР?

Метод конечных разностей, как и МКЭ, является одним из численных методов для решения физических уравнений. МКР тоже использует дискретизацию, но она производится другим образом, из чего вытекают отличия в подходах к составлению и решению уравнений. Вместо конечных элементов решение находится только в отдельных точках расчётной области.

Давайте в качестве примера рассмотрим задачу теплопроводности в стержне. Как и для любого численного метода, для метода конечных разностей понадобятся описывающие задачу дифференциальные уравнения, граничные условия и характеристики расчётной области.

В данном случае мы заменяем непрерывный стержень всего тремя узлами, в которых будем искать значения исследуемых физических полей. Исходное дифференциальное уравнение в общем виде выглядит так:

При использовании МКР мы заменяем все производные отношением конечных разностей (с использованием теоремы Тейлора):

Теперь нам остаётся только записать граничные условия, собрать всё вместе, и мы можем получить ответ для температуры в узлах стержня, решая при этом обычные алгебраические уравнения вместо дифференциальных. В этом и заключается суть метода конечных разностей.

Так МКЭ или МКР?

Что ж, теперь, когда я описал оба метода, вы, вероятно, догадываетесь, к чему я всё это вёл. Как МКЭ, так и МКР являются численными методами решения дифференциальных уравнений, описывающих физические явления. И тот, и другой метод способны обеспечить получение результата с достаточной с практической точки зрения точностью, поэтому сфера их применения обусловлена скорее особенностями и удобством реализации для конкретного класса задач.

В МКР расчётная область дискретизируется в виде сетки узлов, и результаты определяются только в этих узлах, в то время как в МКЭ результаты определены в каждой точке расчётной области и находятся с помощью функций формы, вычисляемых для конечных элементов. В связи с этим МКР обычно требует меньшей вычислительной мощности для решения уравнений и обеспечивает высокую скорость расчёта, но это приводит к менее «точным» результатам (только в узлах).

Для многих задач, например, при решении задач вычислительной гидрогазодинамики, критичным недостатком МКР является несоблюдение законов сохранения массовых и тепловых потоков. Это происходит из-за того, что МКР достаточно грубо аппроксимирует дифференциальные уравнения (только в узлах), а в МКЭ предусмотрено интегрирование по объёму конечного элемента. Эта особенность сильно ограничивает применение МКР, даже несмотря на высокую скорость расчёта.

В практических задачах чаще всего используется МКЭ. Для этого метода накоплен многолетний опыт успешного применения в различных инженерных отраслях и для различных дисциплин (таких как, механика, акустика, гидрогазодинамика, термодинамика, гидравлика и т.д.). МКЭ, безусловно, более популярен, чем МКР, и реализован в различных вариантах во многих программных продуктах.

Различие между МКЭ и МКР – подводим итоги

• МКР – это более старый метод, чем МКЭ, он требует меньшей вычислительной мощности, однако не применим для многих задач из-за погрешностей дискретизации.
• МКЭ позволяет получить более точные результаты (особенно на элементах второго порядка), но требует большей вычислительной мощности, а также он более требователен к качеству расчётной сетки.

—————————————————————————————————————-
Я очень хочу помочь инженерам (и студентам), которые только начинают решать задачи методом конечных элементов, лучше и быстрее разобраться в его основах.

Если вам понравилась эта статья, вот как вы мне можете помочь:

1- Поделитесь этой статьёй на Linkedin, facebook, twitter или на своём форуме, чтобы ещё больше людей разобрались в основах численных методов.
2- Напишите в комментариях к исходной статье, что вы узнали из неё, что ещё хотели бы узнать, и какие вопросы у вас остались. Это даст мне идеи для написания новых статей.
3- Подпишитесь на e-mail рассылку, чтобы первыми получать мои новые статьи (и не только)!

Благодарю за внимание!

Cyprien Rusu, ваш проводник по численным методам ;-)

Источник: ansys.soften.com.ua