При выполнении расчётов методом конечных элементов очень важно понимать, как именно вычисляются результаты, и как они выводятся при отображении пространственных распределений по модели. Во многих случаях грамотный анализ результатов позволяет обнаружить проблемы с расчётной моделью, особенно те, которые связаны с недостаточным качеством сетки конечных элементов.

В качестве примера давайте рассмотрим пластину с отверстием, сделаем модель одной четверти пластины, так как она симметрична по двум плоскостям. Приложим к модели растягивающую нагрузку и используем изотропный упругопластический материал с билинейной кривой деформирования и пределом текучести в 250 МПа.

По завершении расчёта выводим распределение эквивалентных напряжений по Мизесу. Максимальное значение напряжений на контуре отверстия составило 256 МПа, что несколько выше предела текучести.

Итак, можно ожидать, что на распределении относительных пластических деформаций мы увидим, что в небольшой зоне у отверстия началось пластическое течение. Однако, результаты показывают, что пластическая деформация отсутствует. Как же так вышло?

Мы наблюдаем классический случай, когда качество сетки конечных элементов непосредственно влияет на результаты. Подобные вопросы часто возникают у наших клиентов, которым мы оказываем техническую поддержку. Для объяснения этой ситуации нужно разобраться с тем, каким образом вычисляются результаты, наблюдаемые нами на пространственных распределениях.

При решении задачи методом конечных элементов происходит следующее: на основе общей матрицы жёсткости системы, приложенных нагрузок и прочих граничных условий определяются неизвестные степени свободы в узлах конечных элементов. При расчёте напряжённо-деформированного состояния эти степени свободы соответствуют линейным перемещениям узлов в пространстве (а также углам поворота, при наличии в модели балочных или оболочечных элементов). Далее вычисляются производные величины, такие как относительные деформации и напряжения, но при этом они вычисляются не в узлах, а в точках, которые расположены внутри элемента и называются точками интегрирования.

Количество и расположение точек интегрироваться зависит от формы и порядка конечного элемента. Для некоторых элементов можно влиять на эти параметры, выбирая тип интегрирования (полное или сокращённое). Например, на рисунке ниже показаны возможные варианты для плоского конечного элемента четырёхугольной формы.

При проведении расчёта напряжённо-деформированного состояния в Ansys Mechanical по умолчанию будут выбраны элементы с точками интегрирования, расположенными по схеме 2?2. То есть, при выборе элементов 1-го порядка будет использовано полное интегрирование, а при выборе элементов 2-го порядка – сокращённое. Выбирать количество точек интегрирования можно и самостоятельно (с помощью APDL-команд), но при этом следует учитывать, что элементы с одной точкой интегрирования подвержены возникновению числовых ошибок (таких как эффект «песочных часов»), а элементы с расположением точек 3?3 могут быть использованы только для тепловых расчётов, они не доступны для расчётов напряжённо-деформированного состояния.

Итак, перемещения вычисляются в узлах, а относительные деформации и напряжения – в точках интегрирования конечных элементов.

Однако, при выводе результатов в виде распределений по модели программе необходимо рассчитать и отобразить значения в узлах. Эти значения экстраполируются по значениям в точках интегрирования двумя способами, в зависимости от используемого в элементе физического закона деформирования материала:

– для элементов, деформирующихся упруго и линейно, используется линейная экстраполяция;
– при нелинейном деформировании результаты просто копируются из точек интегрирования в узлы.

Именно это вызывает проблему, которую мы показали в начале статьи.

Если сетка конечных элементов в зоне концентрации напряжений является достаточно грубой, то может возникнуть ситуация, когда напряжение в точке интегрирования конечного элемента не достигает предела текучести, и, таким образом, элемент находится в зоне линейного упругого деформирования. При этом линейная экстраполяция напряжений на узлы может привести к появлению значений, превышающих предел текучести, которые создают ошибочное впечатление, что элемент начал деформироваться нелинейно.

Способ переноса значений от точек интегрирования к узлам можно задать самостоятельно с помощью APDL-команды ERESX добавленной на этапе задания граничных условий модели.

Добавление команды «ERESX, NO» заставит программу копировать результаты с точек интегрирования на узлы, независимо от того, линейно или нелинейно деформируется элемент. Проведение расчёта с этой командой показывает, что величина напряжений в точках интегрирования достигает только 205 МПа, что меньше предела текучести. Такой расчёт объясняет нулевое распределение пластических деформаций, полученное нами ранее.

Не стоит путать использование команды ERESX, изменяющей способ расчёта результатов в узлах, с другой настройкой – выводом осреднённых (Averaged) и неосреднённых (Non-averaged) результатов. При выводе осреднённых результатов (именно так результаты выводятся по умолчанию) мы видим среднее значение из всех напряжений, вычисленных для рассматриваемого узла по каждому из элементов, которому этот узел принадлежит. В неосреднённых результатах величина напряжения в узле различна для каждого элемента. При этом в обоих случаях можно задействовать команду ERESX и использовать оба рассмотренных выше способа экстраполяции результатов на узлы. В нашем примере осреднение не окажет никакого влияния на распределение напряжений, так как узел с максимальным напряжением принадлежит только одному элементу.

В рассмотренной задаче проблема касается исключительно качества сетки. На элементах большого размера, расположенных в зоне резких градиентов напряжений, различие между значением в точке интегрирования и в узле может быть очень большим. Использование только одного элемента по толщине пластины также вносит погрешность.

Итак, если вы наблюдаете ситуацию, в которой напряжения превышают предел текучести, а пластические деформации при этом равны нулю, – знайте, в этом месте используется недостаточно плотная сетка. При необходимости более точного определения напряжения в точке максимальной концентрации необходимо уплотнять сетку в интересующей зоне.

Источник: ansys.soften.com.ua