За свою богатую практику инженерного консалтинга в области расчётов методом конечных элементов (МКЭ) я сталкивался со многими сложными задачами. Одной из таких задач является учёт поведения эластомеров, зачастую приводивший к серьёзным трудностям в обеспечении сходимости модели. Эластомеры, к которым относят натуральные и синтетические резины, способны воспринимать без разрушения относительные деформации порядка 100..700%, имеют высоконелинейную диаграмму деформирования и являются практически несжимаемыми (объём тела не изменяется при деформации). Каждый из этих факторов может вызывать проблемы со сходимостью МКЭ расчёта, но в данной статье мне хотелось бы уделить внимание последнему фактору — работе с моделям несжимаемых тел.

Несжимаемый или почти несжимаемый материал практически не изменяет объёма при деформировании, что соответствует коэффициенту Пуассона (?), равному или близкому к 0,5. Напряженное состояние в элементарном объёме материала, выраженное в главных напряжениях, можно представить в виде суммы шаровой (гидростатической) и девиаторной части:

Шаровая часть тензора напряжений вызывает только изменение объёма, в то время как девиаторная часть отвечает исключительно за угловые искажения. Величина гидростатического напряжения p может быть выражена как произведение объёмного модуля упругости материала (K) на относительную объёмную деформацию (?vol):

Для несжимаемого или почти несжимаемого материала получим, что при приближении коэффициента Пуассона ? к 0,5 величина объёмного модуля упругости K стремится к бесконечности, а величина относительной объёмной деформации, соответственно, стремится к нулю. При решении задачи методом конечных элементов такая ситуация приводит к вычислительным трудностям, которые могут проявляться в виде избыточной жесткости модели и носят название «объёмная блокировка» (volumetric locking).

Для разрешения проблем, связанных с моделированием несжимаемых материалов, используется ряд специальных формулировок конечных элементов. В ANSYS их можно задействовать командой KEYOPT. При работе в ANSYS Mechanical для задания этих настроек необходимо вставлять командный блок (Insert > Commands). Ниже дан обзор наиболее часто используемых формулировок:

1. Выборочное сокращённое интегрирование (Selective reduced integration, метод B-Bar)

В методе B-Bar («B с чертой») для шаровой части тензора используется правило интегрирования с порядком на один ниже, чем при полном интегрировании. За счёт этого материал получается более податливым при объёмном деформировании, и эффект объёмной блокировки не проявляется. Название метода («B с чертой») является отсылкой к тому, что матрица B, связывающая перемещения с относительными деформациями, при сокращённом интегрировании по сути осредняется для шаровой части тензора.

2. Равномерное сокращённое интегрирование (URI – Uniform reduced integration)

В данном методе и шаровая, и девиаторная части тензора подвергаются сокращённому интегрированию с правилом на порядок меньшим, чем при полном интегрировании. Метод URI позволяет уменьшить время расчёта и размеры файлов. Однако, для элементов первого порядка сокращённое интегрирование девиаторной части тензора может приводить с возникновению нефизичного деформирования. Такой характер деформирования, изображенный на рисунке ниже, характеризуется нулевой энергией, приводит к нереалистичному поведению модели и называется деформированием вида «песочные часы» (hourglass mode). Для устранения таких деформаций обычно используется параметр жесткости «hourglass stiffness factor», который можно задать для элементов в сокращённым интегрированием. При этом рекомендуется удостовериться, что величина энергии в системе, обусловленной использованием этого параметра, составляет менее 5% от полной энергии деформирования.

В ANSYS параметр жесткости «hourglass stiffness factor» задаётся параметром (real constant) с названием «HGSTF». Величина искусственной энергии может быть выведена с помощью команды PLESOL,AENE, а полная энергия деформирования — с помощью команды PLESOL,SENE.

3. Расширенная модель деформированного состояния (Enhanced Strain Formulation)

В рамках этого метода в конечные элементы первого порядка в форме гексаэдра (или четырёхугольника в плоском случае) добавляются внутренние степени свободы. Они служат для повышения податливости при изгибном деформировании элемента и улучшают поведение моделей с почти несжимаемыми материалами. Однако, для расчёта моделей с полностью несжимаемыми материалами этот метод не следует применять изолированно, его следует комбинировать со смешанной формулировкой u-P, о которой пойдёт речь далее.

4. Смешанная формулировка «u-P» (Mixed u-P Formulation)

В рамках этого метода объёмная блокировка устраняется путём введения дополнительной степени свободы для гидростатического давления (шаровой части тензора напряжений). Эту формулировку можно комбинировать с перечисленными ранее методами: B-bar, URI и «Enhanced Strain Formulation». Из-за того, что величины гидростатического давления присутствуют в матрице жесткости, она получается несимметричной, и для расчёта можно использовать только прямой решатель (direct solver).

По умолчанию, ANSYS формирует симметричную матрицу, эквивалентную заданной несимметричной. Для выбора решателя, работающего с несимметричными матрицами, используется команда NROPT,UNSYM. Такой метод во многих случаях позволяет улучшить сходимость задачи. При использовании смешанной формулировки «u-P» также добавляется дополнительный критерий сходимости, основанный на условии совместности деформаций для шаровой части тензора. Граничная величина этого критерия, рассчитанная по умолчанию, бывает довольно строгой, так что её можно изменить командой SOLCONTROL (четвёртый параметр по счёту).

Выводы

При расчёте моделей с несжимаемыми либо почти несжимаемыми материалами часто проявляются вычислительные трудности («объёмная блокировка»), для устранения которых разработан ряд специализированных формулировок конечных элементов. Ни одна из них не лишена недостатков, но широкий выбор обеспечивает возможность решения широкого круга задач. Использование этих формулировок зачастую не включается решателем автоматически, поэтому понимание их особенностей является необходимым условием для обеспечения сходимости задач с несжимаемыми материалами.

Источник: ansys.soften.com.ua