Несмотря на то, что компьютеры становятся все более быстрыми, а программы конечно-элементного анализа все более эффективными, умение упрощать сложные модели не утратило свою ценность. Метод конечных элементов применяется для расчета напряжений в осесимметричных конструкциях самых разных размеров и выполненных из различных материалов: бетонные гермооболочки атомных реакторов, вращающиеся стальные детали двигателя, искусственные кровеносные сосуды из эластомеров.

В моих предыдущих статьях – Использовать 2D моделирование или нет? Вопрос, который часто возникает при МКЭ анализе и Детализированное моделирование резьбовых соединений – были описаны задачи, в которых и геометрия, и нагрузка являются осесимметричными. В этой статье рассмотрены методы расчёта осесимметричных моделей на неосесимметричные нагрузки при помощи двух распространенных подходов.

Существует три варианта моделирования трехмерной нагрузки на осесимметричную геометрию:

1. Расчёт в трёхмерной постановке.
2. Использование гармонических осесимметричных элементов (harmonic axisymmetric elements).
3. Использование обобщённых осесимметричных элементов (general axisymmetric elements).

Расчёт в трёхмерной постановке

Трёхмерное моделирование не требует упрощения модели и введения допущений, поэтому часто оно является наиболее простым методом, хотя и приводит к наибольшим вычислительным затратам. Рассмотрим 360-градусную модель, созданную протягиванием (инструмент «Sweep») 2D-сетки, где каждый 3D-элемент охватывает 15 градусов. В зависимости от порядка элементов количество степеней свободы в трехмерной модели будет в 72 или в 90 раз больше, чем в двумерной осесимметричной модели. Предполагая, что время расчета примерно пропорционально квадрату степеней свободы (что является адекватной оценкой для трёхмерной задачи с прямым решателем, использующим внешнюю память – direct solver, out-of-core memory mode), получим, что результирующее время расчета трехмерной модели будет в 5000-8000 раз больше, чем двумерной. Это означает, что если осесимметричная двумерная модель считается за час, то для расчета ее трехмерного аналога понадобится от 200 до 300 дней!

В трехмерной модели может быть довольно сложно наложить граничные условия для предотвращения закручивания твердого тела вокруг своей оси. Для осесимметричной модели задача упрощается: отсутствие вращательных и поступательных перемещений твердого тела является её неотъемлемой характеристикой. С другой стороны, у трёхмерного моделирования есть свои преимущества, наибольшим из которых является отсутствие ограничений по типу нагрузок, моделям материалов и типу расчета.

Стоит отметить, что наличие трехмерной нагрузки не всегда требует проведения расчёта на трехмерной геометрии. Ниже описаны подходы, которые позволяют обойтись двумерными элементами. Эти псевдо-трехмерные задачи требуют немного больших вычислительных затрат, чем обычные осесимметричные модели, но их расчёт всё же производится в разы быстрее, чем в случае обычного трехмерного моделирования.

Гармонические осесимметричные элементы (Harmonic Axisymmetric Elements)

Гармонические элементы, такие как конечные элементы PLANE25 в программном обеспечении ANSYS, позволяют учитывать неосесимметричную нагрузку и опоры, представляя эти граничные условия в виде гармонических рядов (ряды Фурье). Такие элементы не поддерживают нелинейные контактные взаимодействия, нелинейные материалы или геометрическую нелинейность. Вместе с тем, расчеты могут быть как статическими, так и динамическими, включая и гармонический расчет (отклик на синусоидально изменяющиеся во времени нагрузки). Да-да, гармонический расчет гармонических элементов – та ещё разминка для мозгов!

Чаще всего эти элементы используются в задачах динамики для получения неосесимметричных форм и соответствующих им частот собственных колебаний. На рисунке 1 показана форма колебаний обечайки двигателя с двумя узловыми диаметрами, полученная на трехмерной модели, а также результаты в сечениях элемента PLANE25 для ряда углов от 0 до 90 градусов.

В случае статических расчетов к модели может быть приложена любая изменяющаяся в пространстве нагрузка, которая впоследствии раскладывается на компоненты по ряду Фурье:

Отклик конструкции по каждому компоненту находится отдельно, а затем используется суперпозиция для объединения результатов. На рисунке 2 показаны примеры нагрузок на элемент PLANE25, определяемые различными членами ряда Фурье. Теоретически, при помощи комбинации функций ряда Фурье можно задать любую нагрузку произвольного вида. Однако в настоящее время этот подход редко используется, поскольку формирование исходных данных и проверка их правильности в таком случае являются непростой задачей. Значительно легче воспользоваться обобщёнными осесимметричными элементами, о которых пойдёт речь ниже. Тем не менее, для проведения модального расчёта элементы PLANE25 очень удобны и часто применяются до сих пор, поскольку их относительно просто задать, и они позволяют существенно сократить время расчета по сравнению с трехмерным моделированием.

Обобщённые осесимметричные элементы

Второй подход к упрощенному двумерному моделированию – использование обобщённых осесимметричных элементов. В программном продукте ANSYS одним из таких элементов является конечный элемент SOLID272. Для задания нагрузок и определения гармонического отклика он использует узловые плоскости (nodal planes), обеспечивая при этом возможность проведения нелинейных расчетов. В этом элементе в ряды Фурье раскладываются не граничные условия, а зависимости перемещения узлов от угловой координаты. Примеры расчёта с элементом SOLID272 показаны на рисунке 3.

Можно отметить следующие преимущества элементов SOLID272:

• Время расчета значительно меньше, чем в случае использования объемных (solid) элементов.
• Отсутствие ошибки, обусловленной недостаточной плотностью сетки по окружности, которая может возникнуть в трехмерных моделях при описании интересующей формы колебания.
• Поддержка 3D-визуализации модели, нагрузок и результатов.
• Поддержка геометрической нелинейности.
• Поддержка нелинейных моделей материала: пластичность и гиперупругость в U-P постановке (U-P formulation).
• Поддержка осесимметричных и неосесимметричных трехмерных контактных взаимодействий (контактные элементы типа «узел с узлом» (point-to-point) и «узел с поверхностью» (point-to-surface) поддерживаются только в геометрически линейных расчётах).
• Возможность задания неосесимметричного давления и температурных нагрузок.
• Учёт ускорения Кориолиса в задачах роторной динамики – нет необходимости применять специальные методы типа расчёта эквивалентного сечения вала.

Ограничения элементов SOLID272 заключаются в следующем:

• Время расчета значительно больше, чем в случае использования элементов для гармонических расчётов PLANE25.
• Ограничение в 12 узловых плоскостей (nodal planes) позволяет учесть только формы колебаний с максимум 5 узловыми диаметрами (от 0 до 5).
• Контактные пары «узел с поверхностью» (point-to-surface) хуже сходятся и не настолько универсальны, как контактные пары «поверхность с поверхностью» (surface-to-surface).

В таблице 1 представлен сравнительный анализ результатов модального расчета модели, показанной на рисунке 1, выполненного тремя описанными в данной статье методами. По результатам расчётов можно сделать следующие выводы:

• Первые 15 частот практически не отличаются во всех трех случаях.
• Обобщённые осесимметричные конечные элементы SOLID272 не позволяют найти формы колебаний с более чем пятью узловыми диаметрами.
• Гармонические осесимметричные элементы позволяют получить первые 25 форм колебаний приблизительно в 400 раз быстрее, чем в случае трехмерного моделирования.
• Гармонические осесимметричные элементы позволяют выполнить расчет в 10 раз быстрее, чем обобщённые осесимметричные элементы. Однако последние обеспечивает полноценную трехмерную визуализацию, которая показана в правом нижнем углу на рисунке 3.

Уверен, существует еще множество приложений для осесимметричных гармонических моделей, которые я не затронул в этой статье, поэтому любые комментарии, предложения и отзывы приветствуются!

Источник: www.ansys.soften.com.ua
Автор: Peter Barrett